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Die CAR-Algebra ist eine im mathematischen Gebiet der Funktionalanalysis betrachtete Algebra. Es handelt sich um eine C*-Algebra, die eng mit den in der Quantenmechanik untersuchten kanonischen Antivertauschungsrelationen (engl. canonical anticommutation relation, daher der Name CAR) verbunden ist und daher auch Fermionenalgebra genannt wird.

• Konstruktion

• Kanonische Antivertauschungsrelationen

• Als UHF-Algebra und AF-Algebra

• Produktzustände und Typ III-Faktoren

• GICAR-Algebra

• Einzelnachweise

Bezeichnet M n {\displaystyle M_{n}} die C*-Algebra der komplexen n × × n {\displaystyle n\times n} -Matrizen, so kann man M 2 n {\displaystyle M_{2^{n}}} vermöge des isometrischen *-Homomorphismus

M

2

n

→

→

M

2

n

+

1

,

X

↦

↦

(

X

0

0

X

)

{\displaystyle M_{2^{n}}\rightarrow M_{2^{n+1}},\quad X\mapsto {\begin{pmatrix}X&0\\0&X\end{pmatrix}}}

als Unteralgebra von M 2 n + 1 {\displaystyle M_{2^{n+1}}} auffassen. Auf der Vereinigung aller so ineinander liegenden Matrizenalgebren hat man dann eine Norm, die jede der C*-Normen auf M 2 n {\displaystyle M_{2^{n}}} fortsetzt und daher bis auf die Vollständigkeit alle Eigenschaften einer C*-Norm hat. Die Vervollständigung ist dann eine C*-Algebra, die man die CAR-Algebra nennt.

Es seien H {\displaystyle H} ein separabler Hilbertraum und α α : H → → L ( H ) {\displaystyle \alpha :H\rightarrow L(H)} eine lineare Abbildung in die C*-Algebra L ( H ) {\displaystyle L(H)} der stetigen, linearen Operatoren auf H {\displaystyle H} mit folgenden Eigenschaften:

α

α

(

x

)

α

α

(

y

)

+

α

α

(

y

)

α

α

(

x

)

=

0

{\displaystyle \alpha (x)\alpha (y)+\alpha (y)\alpha (x)\,=\,0}

α α ( x ) α α ( y ) ∗ ∗ + α α ( y ) ∗ ∗ α α ( x ) = ⟨ ⟨ x , y ⟩ ⟩ i d H {\displaystyle \alpha (x)\alpha (y)^{*}+\alpha (y)^{*}\alpha (x)\,=\,\langle x,y\rangle \mathrm {id} _{H}}

für alle Vektoren x , y ∈ ∈ H {\displaystyle x,y\in H} .

Man sagt, α α {\displaystyle \alpha } erfülle die kanonischen Antivertauschungsrelationen; diese werden von den in der Quantenmechanik betrachteten Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Fermionen erfüllt. Solche Abbildungen α α {\displaystyle \alpha } lassen sich beispielsweise auf dem Fockraum realisieren. Die Isomorphieklasse der von den Operatoren α α ( x ) {\displaystyle \alpha (x)} erzeugten C*-Algebra erweist sich als unabhängig von der speziellen Auswahl der Abbildung α α {\displaystyle \alpha } , denn es gilt:cite-ref-1[1]

• Die von allen Operatoren α α ( x ) , x ∈ ∈ H {\displaystyle \alpha (x),\,x\in H} erzeugte C*-Algebra ist isomorph zur CAR-Algebra.

Ist ( x n ) n ∈ ∈ N {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }} eine Orthonormalbasis von H {\displaystyle H} , so kann die Einbettung C ∗ ∗ ( α α ( x 1 ) , … … , α α ( x n ) ) ⊂ ⊂ C ∗ ∗ ( α α ( x 1 ) , … … , α α ( x n + 1 ) ) {\displaystyle C^{*}(\alpha (x_{1}),\ldots ,\alpha (x_{n}))\subset C^{*}(\alpha (x_{1}),\ldots ,\alpha (x_{n+1}))} mit obiger Einbettung M 2 n → → M 2 n + 1 {\displaystyle M_{2^{n}}\rightarrow M_{2^{n+1}}} identifiziert werden ( C ∗ ∗ ( … … ) {\displaystyle C^{*}(\ldots )} steht hier für die von in den Klammern aufgelisteten Operatoren erzeugte C*-Algebra).

Ihrer Konstruktion nach ist die CAR-Algebra eine UHF-Algebra, und zwar diejenige zur übernatürlichen Zahl 2 ∞ ∞ {\displaystyle 2^{\infty }} (siehe dazu den Artikel UHF-Algebra). Als UHF-Algebra ist sie auch eine AF-C*-Algebra und daher unter allen AF-C*-Algebren durch ihre geordnete skalierte K 0 {\displaystyle K_{0}} -Gruppe ausgezeichnet. Diese ist Z [ 1 2 ] {\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\frac {1}{2}}\right]} mit der durch [0,1] gegebenen Skalacite-ref-2[2]. Z [ 1 2 ] {\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\frac {1}{2}}\right]} steht dabei für die Menge aller rationalen Zahlen, deren Nenner eine Zweierpotenz ist.

Zu jedem λ λ ∈ ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \lambda \in [0,1]} kann man rekursiv Zustände φ φ λ λ ( n ) : M 2 n → → C {\displaystyle \varphi _{\lambda }^{(n)}:M_{2^{n}}\rightarrow \mathbb {C} } definieren, wobei

• φ φ λ λ ( 0 ) : M 2 0 ≅ ≅ C → → C {\displaystyle \varphi _{\lambda }^{(0)}:M_{2^{0}}\cong \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} } die identische Abbildung sei und

• φ φ λ λ ( n ) ( x ) = λ λ φ φ λ λ ( n − − 1 ) ( x 1 , 1 ) + ( 1 − − λ λ ) φ φ λ λ ( n − − 1 ) ( x 2 , 2 ) {\displaystyle \varphi _{\lambda }^{(n)}(x)=\lambda \varphi _{\lambda }^{(n-1)}(x_{1,1})+(1-\lambda )\varphi _{\lambda }^{(n-1)}(x_{2,2})} für jedes n > 0 {\displaystyle n>0} , wobei x = ( x i , j ) {\displaystyle x=(x_{i,j})} als 2 × × 2 {\displaystyle 2\times 2} -Matrix mit Elementen aus M 2 n − − 1 {\displaystyle M_{2^{n-1}}} geschrieben ist.

Dann ist die Einschränkung von φ φ λ λ ( n ) {\displaystyle \varphi _{\lambda }^{(n)}} auf M 2 n − − 1 {\displaystyle M_{2^{n-1}}} gleich φ φ λ λ ( n − − 1 ) {\displaystyle \varphi _{\lambda }^{(n-1)}} , denn gemäß der hier betrachteten Einbettung von M 2 n − − 1 {\displaystyle M_{2^{n-1}}} nach M 2 n {\displaystyle M_{2^{n}}} ist

( φ φ λ λ ( n ) | M 2 n − − 1 ) ( x ) = φ φ λ λ ( n ) ( ( x 0 0 x ) ) = λ λ φ φ λ λ ( n − − 1 ) ( x ) + ( 1 − − λ λ ) φ φ λ λ ( n − − 1 ) ( x ) = φ φ λ λ ( n − − 1 ) ( x ) {\displaystyle (\varphi _{\lambda }^{(n)}|_{M_{2^{n-1}}})(x)=\varphi _{\lambda }^{(n)}\left({\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix}}\right)=\lambda \varphi _{\lambda }^{(n-1)}(x)+(1-\lambda )\varphi _{\lambda }^{(n-1)}(x)=\varphi _{\lambda }^{(n-1)}(x)} .

Daher gibt es auf der CAR-Algebra einen eindeutigen Zustand φ φ λ λ {\displaystyle \varphi _{\lambda }} , der auf allen M 2 n {\displaystyle M_{2^{n}}} mit φ φ λ λ ( n ) {\displaystyle \varphi _{\lambda }^{(n)}} übereinstimmt. Dieser heißt der zu λ λ {\displaystyle \lambda } gehörige Produktzustand. Die Bezeichnung Produktzustand rührt daher, dass man ihn auch über Tensorprodukt-Konstruktionen gewinnen kann, was hier aber nicht ausgeführt wird. Nach J. Glimm lassen sich mittels dieser Zustände wie folgt Faktoren vom Typ III konstruieren.

Zum Zustand φ φ λ λ {\displaystyle \varphi _{\lambda }} gehört mittels GNS-Konstruktion eine Hilbertraum-Darstellung π π λ λ : A → → L ( H λ λ ) {\displaystyle \pi _{\lambda }:A\rightarrow L(H_{\lambda })} auf einem Hilbertraum H λ λ {\displaystyle H_{\lambda }} . Für 0 < λ λ < 1 2 {\displaystyle 0<\lambda <{\frac {1}{2}}} ist das Bild π π λ λ ( A ) ⊂ ⊂ L ( H λ λ ) {\displaystyle \pi _{\lambda }(A)\subset L(H_{\lambda })} eine C*-Algebra, deren Abschluss in der schwachen Operatortopologie ein Faktor vom Typ III ist.cite-ref-3[3] Je zwei solche Faktoren zu verschiedenen Zahlen aus dem offenen Intervall ( 0 , 1 2 ) {\displaystyle \left(0,{\frac {1}{2}}\right)} sind nicht isomorph.cite-ref-4[4]

Sei α α : H → → L ( H ) {\displaystyle \alpha :H\rightarrow L(H)} eine Abbildung, die den oben definierten kanonischen Antivertauschungsrelationen genügt. Ist μ μ ∈ ∈ C {\displaystyle \mu \in \mathbb {C} } mit | μ μ | = 1 {\displaystyle |\mu |=1} , so erfüllt auch β β : H → → L ( H ) , x ↦ ↦ α α ( μ μ x ) {\displaystyle \beta :H\rightarrow L(H),\,x\mapsto \alpha (\mu x)} die kanonischen Antivertauschungsrelationen, wie man leicht nachrechnen kann. Da die von den α α ( x ) {\displaystyle \alpha (x)} bzw. von den β β ( x ) {\displaystyle \beta (x)} erzeugte C*-Algebra, wobei x {\displaystyle x} den Hilbertraum durchläuft, in beiden Fällen die CAR-Algebra A {\displaystyle A} ist, kann man zeigen, dass man einen Automorphismus σ σ μ μ : A → → A {\displaystyle \sigma _{\mu }:A\rightarrow A} erhält, den man Eichautomorphismus nennt.

Die C*-Unteralgebra derjenigen Elemente von A {\displaystyle A} , die unter allen Eichautomorphismen σ σ μ μ , | μ μ | = 1 {\displaystyle \sigma _{\mu },|\mu |=1} invariant sind, heißt GICAR-Algebra. Dabei steht GI für gauge-invariant (deutsch: eich-invariant). Man kann zeigen, dass die GICAR-Algebra eine AF-C*-Algebra ist. Während die CAR-Algebra einfach ist, das heißt, sie hat keine nicht-trivialen zweiseitigen Ideale, hat die GICAR-Algebra eine reiche Idealstruktur, die man an ihrem Bratteli-Diagramm ablesen kann. Dieses hat die Form des Pascalschen Dreieckscite-ref-5[5]:

1

↗

↗

1

…

…

↗

↗

↘

↘

1

3

↗

↗

↘

↘

↗

↗

1

2

…

…

↘

↘

↗

↗

↘

↘

1

3

↘

↘

↗

↗

1

…

…

↘

↘

1

{\displaystyle {\begin{matrix}&&&&&&1&\\&&&&&\nearrow &&\\&&&&1&&&\ldots \\&&&\nearrow &&\searrow &&\\&&1&&&&3&\\&\nearrow &&\searrow &&\nearrow &&\\1&&&&2&&&\ldots \\&\searrow &&\nearrow &&\searrow &&\\&&1&&&&3&\\&&&\searrow &&\nearrow &&\\&&&&1&&&\ldots \\&&&&&\searrow &&\\&&&&&&1&\end{matrix}}}

cite-note-11. ↑ K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-8218-0599-1, Example III.5.4.

cite-note-22. ↑ K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-8218-0599-1, Example IV.3.4.

cite-note-33. ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups. Academic Press Inc., 1979, ISBN 0-12-549450-5, Theorem 6.5.15.

cite-note-44. ↑ Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups. Academic Press Inc., 1979, ISBN 0-12-549450-5, Theorem 8.15.13.

cite-note-55. ↑ K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-8218-0599-1: Example III.5.5.